Edukację muzyczną Stanisław Skrowaczewski rozpoczął w wieku czterech lat. Mając lat siedem skomponował pierwszy utwór symfoniczny, cztery lata później debiutował jako pianista. Studiował kompozycję u Nadii Boulanger, uczestniczył także w założeniu awangardowej grupy Zodiaque w Paryżu.

W Polsce związany był z Filharmonią Krakowską, Wrocławską, Śląską (dyrektor artystyczny w latach 1949-1953) oraz Filharmonią Narodową. Po odniesieniu zwycięstwa w Międzynarodowym Konkursie Dyrygenckim w Rzymie (1956) otrzymał zaproszenie od George’a Szella, debiutując w 1958 roku z Cleveland Orchestra w Stanach Zjednoczonych. Od tego momentu kariera artystyczna Stanisława Skrowaczewskiego zaczęła się bardzo dynamicznie rozwijać. W roku 1960 objął stanowisko dyrektora muzycznego Minneapolis Symphony Orchestra (obecnie Minnesota Orchestra), którą to funkcję pełnił przez 19 lat. W latach 1984-1991 był pierwszym dyrygentem Hallé Orchestra w Manchesterze.

Dokonał wielu nagrań płytowych, dla takich wytwórni, jak: RCA, Chandos, Pickwick/Carlton, Philips, CBS, EMI/Angel, Erato, Denon, Mercury, Vox, Muza, Arte Nova czy Oehms Classics. Liczne albumy otrzymały prestiżowe laury fonograficzne, wśród których można wymienić Złoty Medal Towarzystwa Mahlerowsko-Brucknerowskiego oraz nagrodę MIDEM Classical Award za zarejestrowaną w 2002 roku płytę, obejmującą symfonie Antona Brucknera. Dyrygent, z towarzyszeniem Hallé Orchestra, dokonał również nagrania I i VI Symfonii Dymitra Szostakowicza. W ostatnich latach życia Stanisław Skrowaczewski był dyrygentem honorowym Minnesota Orchestra, z którą współpracował od 50 sezonów artystycznych, dyrygentem honorowym Yomiuri Nippon Symphony Orchestra, pierwszym dyrygentem gościnnym NOSPR, dyrygentem-laureatem Deutsche Radio Philharmonie - Orkiestry, z którą pracował od 1978 roku, prowadząc koncerty niemal w każdym sezonie.

W roku 1999 prezydent Aleksander Kwaśniewski przyznał artyście Krzyż Komandorski z Gwiazdą Orderu Odrodzenia Polski. W 2014 roku, z rąk prezydenta Bronisława Komorowskiego, dyrygent otrzymał Krzyż Wielki Orderu Odrodzenia Polski. Na długiej liście wyróżnień i nagród, jakie posiadał Stanisław Skrowaczewski, znajduje się sześć tytułów doktora honoris causa; ponadto figuruje na niej zaszczytny tytuł Endowment in Conducting, przyznany przez Uniwersytet w Minnesocie w uznaniu zasług dyrygenta dla życia muzycznego w Minnesocie oraz nagroda Koryfeusz Muzyki Polskiej 2015 (kategoria Nagroda Honorowa), przyznana przez Instytut Muzyki i Tańca.